Kategoria: Wskazówki

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Wskazówki

$sin\alpha=\frac{a}{c}$

$cos\alpha=\frac{b}{c}$

$tg\alpha=\frac{a}{b}$

Ciąg geometryczny

Wskazówki

Iloraz ciągu geometrycznego: $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ np. $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_{101}}{a_{100}}$

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $a_n=a_1\cdot q^{n-1}\;\;\;dla\;\;\;n\geq2$

Wzór na sumę $S_n$ początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:

$S_n=\left\{\begin{matrix} a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q} & dla &q\neq1 \\ n\cdot a_1&dla &q=1 \end{matrix}\right.$

Związek między sąsiednimi wyrazami ciągu:

$a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\;\;\;dla\;\;\;n\geq2$

np: $a_2^2=a_1\cdot a_3$

Ciąg arytmetyczny

Wskazówki

Różnica ciągu arytmetycznego r: $r=a_{n+1}-a_n \;\;\; dla \;\;\;n\geq 1$ np. $r=a_2-a_1=a_3-a_2$

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_n=a_1+(n-1)\cdot r$

Wzór na sumę $S_n$ początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n$

gdzie $a_1$ oznacza pierwszy wyraz ciągu, r różnica ciągu arytmetycznego.

Związek między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\;\;\; dla\;\;\; n\geq2$

np. $a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$

Funkcja liniowa – wyznaczanie wzoru

Wskazówki

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej mając dane dwa punkty:

Dane są dwa punkty $A=(x_A;y_A)\;\;\;B=(x_B;y_B)$

Tworzymy układ równań podstawiając współrzędne punktów do wzoru: $y=ax+b$

$\left\{\begin{matrix} y_A=ax_A+b\\y_B=ax_B+b \end{matrix}\right.$

rozwiązujemy ten układ, a wyznaczone a i b wstawiamy do wzoru funkcji.

Przykład:

Dane są dwa punkty $A=(2;3)\;\;oraz\;\;B=(-1;-9)$

$x_A=2\;\;\;y_A=3$

$x_B=-1\;\;\;y_B=-9$

Wstawiamy do układu równań otrzymując:

$\left\{\begin{matrix} 3 &= &a\cdot2 &+ &b \\ -9&= &a\cdot(-1) &+ &b \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} 3 &= &2a &+ &b \\ -9&= &-a &+ &b \end{matrix}\right.$ —> np. drugie równanie mnożymy przez $(-1)$

$+\left\{\begin{matrix} 3 &= &2a &+ &b \\ 9&= &a &- &b \end{matrix}\right.$

_______________

$12=3a$

$a=4$ —> liczbę tą wstawiamy do jednego z równań nad kreską

$\left\{\begin{matrix} a &= &4 & & \\ 9&= &4 &- &b \end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a &= &4 & & \\ b&= &-5 & & \end{matrix}\right.$

Wyznaczone wartości wstawiamy do wzoru funkcji $y=ax+b$

Otrzymujemy: $y=4x-5$

Funkcja kwadratowa – współrzędne wierzchołka paraboli

Wskazówki

Funkcja kwadratowa – postać ogólna $\large y=ax^2+bx+c\;\;\;a\neq0$

Współrzędne wierzchołka paraboli $\large W=(p;q)$

$\large p=\frac{-b}{2a}$

$\large q=\frac{-\Delta }{4a}\;\;\;\;\Delta =b^2-4ac$

Funkcja liniowa

Wskazówki

Funkcja liniowa

Postać ogólna funkcji liniowej: $Ax+By+C=0$ gdzie $A^2+B^2\neq0$ czyli $A,B$ nie mogą jednocześnie być równe zero.

Postać kierunkowa funkcji liniowej: $\large y=ax+b$ gdzie:

$\large a$ – nazywana jest współczynnikiem kierunkowym funkcji liniowej,

$\large a>0$ wykres funkcji pochylony jest w prawą stronę, funkcja jest funkcją rosnącą;

$\large a=0$ wykres funkcji jest równoległy do osi OX, czyli w poziomie, funkcja jest funkcją stałą;

$\large a<0$ wykres funkcji pochylony jest w lewą stronę, funkcja jest funkcją malejącą.

$\large b$ – wyraz wolny ( czyli bez x), punkt przecięcia osi OY (tej pionowej;P) ma współrzędne $\large (0;b)$

Przykład 1: $y=\frac{3}{5}x-70$

$a=\frac{3}{5}$ współczynnik $\large a$ jest większy od zera więc wykres funkcji pochylony jest w prawo, funkcja jest rosnąca.

$b=-70$ więc punkt przecięcia osi o OY wynosi $(0;-70)$

Kategoria: Wskazówki

Kategorie