Kategoria: Wskazówki

Ciąg geometryczny

Iloraz ciągu geometrycznego:  q=\frac{a_{n+1}}{a_n}     np. q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_{101}}{a_{100}}

 

Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego:  a_n=a_1\cdot q^{n-1}\;\;\;dla\;\;\;n\geq2

 

Wzór na sumę S_n początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego:

S_n=\left\{\begin{matrix} a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q} & dla &q\neq1 \\ n\cdot a_1&dla &q=1 \end{matrix}\right.

 

Związek między sąsiednimi wyrazami ciągu:

a_n^2=a_{n-1}\cdot a_{n+1}\;\;\;dla\;\;\;n\geq2

np:  a_2^2=a_1\cdot a_3

Ciąg arytmetyczny

Różnica ciągu arytmetycznego r:   r=a_{n+1}-a_n \;\;\; dla \;\;\;n\geq 1   np.  r=a_2-a_1=a_3-a_2

 

Wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: a_n=a_1+(n-1)\cdot r

 

Wzór na sumę S_n początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{2a_1+(n-1)\cdot r}{2}\cdot n

gdzie a_1 oznacza pierwszy wyraz ciągu, r różnica ciągu arytmetycznego.

 

Związek między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego:

a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}\;\;\; dla\;\;\; n\geq2

np. a_2=\frac{a_1+a_3}{2}

Funkcja liniowa – wyznaczanie wzoru

Wyznaczanie wzoru funkcji liniowej mając dane dwa punkty:

Dane są dwa punkty A=(x_A;y_A)\;\;\;B=(x_B;y_B)

Tworzymy układ równań podstawiając współrzędne punktów do wzoru: y=ax+b

\left\{\begin{matrix} y_A=ax_A+b\\y_B=ax_B+b \end{matrix}\right.

rozwiązujemy ten układ, a wyznaczone a i b wstawiamy do wzoru funkcji.

 

Przykład:

Dane są dwa punkty   A=(2;3)\;\;oraz\;\;B=(-1;-9)

x_A=2\;\;\;y_A=3

x_B=-1\;\;\;y_B=-9

Wstawiamy do układu równań otrzymując:

\left\{\begin{matrix} 3 &= &a\cdot2 &+ &b \\ -9&= &a\cdot(-1) &+ &b \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} 3 &= &2a &+ &b \\ -9&= &-a &+ &b \end{matrix}\right.    —>  np. drugie równanie mnożymy przez (-1)

+\left\{\begin{matrix} 3 &= &2a &+ &b \\ 9&= &a &- &b \end{matrix}\right.

_______________

12=3a

a=4    —> liczbę tą wstawiamy do jednego z równań nad kreską

 

\left\{\begin{matrix} a &= &4 & & \\ 9&= &4 &- &b \end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix} a &= &4 & & \\ b&= &-5 & & \end{matrix}\right.

Wyznaczone wartości wstawiamy do wzoru funkcji  y=ax+b

Otrzymujemy: y=4x-5

 

 

 

Funkcja liniowa

Funkcja liniowa

Postać ogólna funkcji liniowej:       Ax+By+C=0 gdzie A^2+B^2\neq0 czyli A,B nie mogą jednocześnie być równe zero.

Postać kierunkowa funkcji liniowej:     \large y=ax+b       gdzie:

\large a – nazywana jest współczynnikiem kierunkowym funkcji liniowej,

\large a>0  wykres funkcji pochylony jest w prawą stronę, funkcja jest funkcją rosnącą;

\large a=0  wykres funkcji jest równoległy do osi OX, czyli w poziomie, funkcja jest funkcją stałą;

\large a<0  wykres funkcji pochylony jest  w lewą stronę, funkcja jest funkcją malejącą.

\large b   – wyraz wolny ( czyli bez x), punkt przecięcia osi OY (tej pionowej;P) ma współrzędne \large (0;b)

Przykład 1:     y=\frac{3}{5}x-70

a=\frac{3}{5}  współczynnik \large a jest większy od zera więc wykres funkcji pochylony jest w prawo, funkcja jest rosnąca.

b=-70 więc punkt przecięcia osi o OY wynosi (0;-70)

 

Kapitan Pi eS - kliknij a Ci pomoże!
Arkusze maturalne
O kapitanie π-s!
Tablice matematyczne